Hoja de trabajo de ecuaciones diferenciales para tontos

Una vez que hayas descubierto el tipo de ecuación diferencial con la que estás tratando, puedes pasar a resolver el problema usando el método de coeficientes indeterminados o el método de series de potencia. Si se le presenta una ecuación obstinada, intente utilizar las soluciones de transformación de Laplace para ayudar.

Cómo distinguir una ecuación diferencial de otra

Antes de que puedas resolver una ecuación diferencial, necesitas saber de qué tipo es. Existen varios tipos diferentes de ecuaciones, incluyendo las lineales, separables, exactas, homogéneas y no homogéneas.

Las ecuaciones diferenciales lineales se refieren únicamente a los derivados de la primera potencia (olvídese de los derivados elevados a cualquier potencia superior).

La potencia a la que se hace referencia aquí es la potencia a la que se eleva la derivada, no el orden de la derivada. He aquí una ecuación diferencial lineal bastante típica:

Las ecuaciones diferenciales separables se pueden escribir de manera que todos los términos en x y todos los términos en y aparezcan en lados opuestos de la ecuación, como puedes ver en este ejemplo:

que también se puede escribir como

Las ecuaciones diferenciales exactas son aquellas en las que se puede encontrar una función cuyos derivados parciales corresponden a los términos de la ecuación diferencial. Aquí hay un ejemplo:

Las ecuaciones diferenciales homogéneas contienen sólo derivados de y y y términos que involucran a y. Como puedes ver en esta ecuación, también están configuradas a 0:

Las ecuaciones diferenciales no homogéneas son las mismas que las ecuaciones diferenciales homogéneas, pero con una excepción: Sólo pueden tener términos que incluyan x y/o constantes en el lado derecho. He aquí un ejemplo de una ecuación diferencial no homogénea:

La solución general de esta ecuación diferencial no homogénea:

es

donde c1y1(x) + c2y2(x) es la solución general de la correspondiente ecuación diferencial homogénea

e yp(x) es una solución particular para la ecuación no homogénea.

Dos maneras efectivas de resolver ecuaciones diferenciales

Puedes resolver una ecuación diferencial de varias maneras. Las dos técnicas más efectivas que puede utilizar son el método de coeficientes indeterminados y el método de series de potencia.

El método de los coeficientes indeterminados es una forma útil de resolver ecuaciones diferenciales. Para aplicar este método, simplemente conecte una solución que utilice coeficientes constantes desconocidos en la ecuación diferencial y luego resuelva para esos coeficientes usando las condiciones iniciales especificadas.

Las series de potencia son otra herramienta en su conjunto de herramientas de resolución de ecuaciones diferenciales. Puedes sustituir una serie de potencias como la siguiente en una ecuación diferencial:

Entonces todo lo que tienes que hacer es encontrar una relación de recurrencia que te dé el coeficiente y.

Resolución de ecuaciones diferenciales utilizando soluciones de transformación de Laplace

Las transformaciones de Laplace son un tipo de transformación integral que son excelentes para hacer más manejables las ecuaciones diferenciales indisciplinadas. Simplemente toma la transformación Laplace de la ecuación diferencial en cuestión, resuelve esa ecuación algebraicamente, y trata de encontrar la transformación inversa. Aquí está la transformación Laplace de la función f (t):

Echa un vistazo a esta práctica tabla de transformaciones de Laplace para funciones comunes cuando no quieras tomarte el tiempo para calcular una transformación de Laplace por tu cuenta.

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