De ecuaciones diferenciales para tontos
Por Steven Holzner
Para resolver con seguridad las ecuaciones diferenciales, es necesario comprender cómo se clasifican las ecuaciones por orden, cómo distinguir entre ecuaciones lineales, separables y exactas, y cómo identificar ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas. Aprenda el método de los coeficientes indeterminados para elaborar ecuaciones diferenciales no homogéneas.
Indice
Clasificación de ecuaciones diferenciales por orden
La clasificación más común de las ecuaciones diferenciales se basa en el orden. El orden de una ecuación diferencial es simplemente el orden de su derivada más alta. Puedes tener ecuaciones diferenciales de primer, segundo y superior orden.
Las ecuaciones diferenciales de primer orden implican derivados de primer orden, como en este ejemplo:
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden implican derivados de segundo orden, como en estos ejemplos:
Las ecuaciones diferenciales de orden superior son aquellas que involucran derivados de orden superior al segundo orden (¡qué gran sorpresa con ese nombre tan inteligente!). Las ecuaciones diferenciales de todas las órdenes pueden usar la notación y’, así:
Distinguir entre ecuaciones lineales, separables y diferenciales exactas
Puedes distinguir entre ecuaciones diferenciales lineales, separables y exactas si sabes qué buscar. Ten en cuenta que es posible que necesites reorganizar una ecuación para identificarla.
Las ecuaciones diferenciales lineales involucran sólo derivados de y y y términos de y a la primera potencia, no elevados a ninguna potencia superior. (Nota: Esta es la potencia a la que se eleva el derivado, no el orden del derivado.) Por ejemplo, esta es una ecuación diferencial lineal porque contiene sólo derivados elevados a la primera potencia:
Las ecuaciones diferenciales separables se pueden escribir de manera que todos los términos en x y todos los términos en y aparezcan en lados opuestos de la ecuación. Aquí hay un ejemplo:
que se puede escribir así con una pequeña remodelación:
Las ecuaciones diferenciales exactas son aquellas en las que se puede encontrar una función cuyos derivados parciales corresponden a los términos de una ecuación diferencial dada.
Definición de ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas
Para identificar una ecuación diferencial no homogénea, primero necesitas saber cómo es una ecuación diferencial homogénea. También a menudo es necesario resolver uno antes de poder resolver el otro.
Las ecuaciones diferenciales homogéneas involucran sólo los derivados de y y y los términos que involucran a y, y se establecen en 0, como en esta ecuación:
Las ecuaciones diferenciales no homogéneas son las mismas que las ecuaciones diferenciales homogéneas, excepto que pueden tener términos que involucran sólo x (y constantes) en el lado derecho, como en esta ecuación:
También puedes escribir ecuaciones diferenciales no homogéneas en este formato: y» + p(x)y’ + q(x)y = g(x). La solución general de esta ecuación diferencial no homogénea es
En esta solución, c1y1(x) + c2y2(x) es la solución general de la correspondiente ecuación diferencial homogénea:
Y yp(x) es una solución específica para la ecuación no homogénea.
Utilización del método de los coeficientes indeterminados
Si necesita encontrar soluciones particulares para ecuaciones diferenciales no homogéneas, entonces puede comenzar con el método de coeficientes indeterminados. Suponga que usted enfrenta la siguiente ecuación diferencial no homogénea:
El método de los coeficientes indeterminados indica que cuando encuentras una solución candidata, y, y, y lo conectas en el lado izquierdo de la ecuación, terminas con g(x). Debido a que g(x) es sólo una función de x, a menudo se puede adivinar la forma de yp(x), hasta coeficientes arbitrarios, y luego resolver para esos coeficientes insertando yp(x) en la ecuación diferencial.
Este método funciona porque sólo se trata de g(x), y la forma de g(x) a menudo puede indicarle cómo es una solución en particular.