Matemáticas AS & A-Level: De dónde provienen el poder y las leyes de los troncos

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Necesitará conocer las leyes de potencia y las leyes de registro para las matemáticas de AS y A-Levels. Las leyes de poder y las leyes de registro pueden ser viejos amigos, pero ¿sabe de dónde vienen? Imagina que tienes siete monedas de £2. Si quisieras escribir cuánto dinero tienes, podrías escribir £2+ £2+ £2+ £2+ £2+ £2+ £2+ £2+ £2+ £2, pero nunca soñarías con hacer eso (para empezar, probablemente perderías la cuenta); casi automáticamente escribirías 7×£2 o £2×7.

De forma similar, si multiplicas las cosas repetidamente, podrías escribir £500×1.01×1.01×1.01×1.01×1.01 más eficientemente que £500×1.01³. En ambos casos, la notación aclara lo que está sucediendo y, lo que es más importante, cuánto tiene que suceder.

También está surgiendo una especie de orden jerárquico: la suma se convierte en multiplicación, que se convierte en …. lo llamamos potenciación. (Esto, resulta, es de donde vienen los horrores de BODMAS; la regla es simplemente que primero se hace la operación más general, a menos que los corchetes o las agrupaciones le digan lo contrario).

Entonces, ¿de dónde vienen las leyes de poder?

Imagínate que necesitas calcular (3×3×3×3×3)× (3×3×3), que con mucho gusto convertirás en 34×3³. Podrías reescribirlo como una lista de siete 3 multiplicada por 37. Si tuvieras un 3s en la primera lista y un b 3s en la segunda, los convertirías en una lista de (a+b) 3s. En términos más generales, esto conduce a la regla (xa)(xb)= xa+b.

Divide ambos lados por xb, y obtienes xa= (xa+b)/xb; si divides el producto de (a+b) xs por el producto de bxs, b de ellos se cancela, dejándote con el producto de los ejes. Puedes reescribir esto como xm/xn= xm-n – así que el primer par de leyes de poder se mantienen vigentes.

Otra consecuencia de la primera ley de la potencia es que si multiplicas una potencia por sí misma varias veces -como en (xa)3- puedes escribirla como (xa)(xa)(xa)(xa)= x3a. En general, multiplicar xa por sí misma b veces teda una lista de b (xa)s, que puedes convertir en xab.

Las raíces no son tan fáciles de ver, pero piensa en el ejemplo del párrafo anterior: (xa)(xa)(xa)= x3a , que puedes reescribir como (xb/3)(xb/3)(xb/3) = xb; ahora está claro que xb/3 es la raíz cúbica de xb. Puedes extender esta idea para ver que x1/kes la raíz kth de x.

¿Y las leyes de troncos?

El resto de las leyes de troncos se pueden elaborar de la misma manera: ¡cada una de las leyes de troncos corresponde exactamente a una ley de potencias!

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